OpenAGH e-podręczniki | Prawo Gaussa

Prawo Gaussa

Obliczanie pól elektrostatycznych metodą superpozycji może być skomplikowane matematycznie. Istnieje jednak, prostszy sposobu obliczania pól, który opiera się na wykorzystaniu prawa Gaussa. Żeby móc z niego skorzystać, poznamy najpierw pojęcie strumienia pola elektrycznego.

Definicja 1: Strumień pola

Strumień $ {\phi} $ pola elektrycznego przez powierzchnię $ S $ definiujemy jako iloczyn skalarny wektora powierzchni $ {\bf S} $ i natężenia pola elektrycznego $ {\bf E} $.

(1)

$
{\phi ={\bf E}\cdot {\bf S}=\mathit{ES}{\cos}\alpha }
$

gdzie $ \alpha $ jest kątem pomiędzy wektorem powierzchni $ {\bf S} $ (przypomnij sobie definicję wektora powierzchni w module Ciśnienie i gęstość płynów ) i wektorem $ {\bf E} $ (zob. Rys. 1 ).

$Strumień pola elektrycznego {OPENAGHMATHJAX()}\bf E {OPENAGHMATHJAX} przez powierzchnię {OPENAGHMATHJAX()} \bf S {OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 1: Strumień pola elektrycznego $ \bf E $ przez powierzchnię $ \bf S $

Jeżeli wektor natężenia pola $ {\bf E} $, w różnych punktach powierzchni $ S $, ma różną wartość i przecina tę powierzchnię pod różnymi kątami (zob. Rys. 2 ) to wówczas dzielimy powierzchnię na małe elementy $ dS $ i obliczamy iloczyn skalarny wektora powierzchni $ dS $ i lokalnego natężenia pola elektrycznego.

(2)

$
{\mathit{d\phi }={\bf E}\cdot \mathit{d{\bf S}}=\mathit{EdS}{\cos}\alpha }
$

$: Strumień pola {OPENAGHMATHJAX()}{\bf E}{OPENAGHMATHJAX} przez elementarną powierzchnię {OPENAGHMATHJAX()}dS{OPENAGHMATHJAX} definiujemy jako iloczyn {OPENAGHMATHJAX()}{d\phi={\bf E}·d{\bf S}}{OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 2: Strumień pola $ {\bf E} $ przez elementarną powierzchnię $ dS $ definiujemy jako iloczyn $ {d\phi={\bf E}·d{\bf S}} $

Całkowity strumień przechodzący przez rozciągłą powierzchnię $ S $ obliczamy jako sumę przyczynków dla elementarnych powierzchni $ dS $.

(3)

$ {\phi =\underset{{\text{powierzchnia}}}{\sum}{\mathit{{\bf E}\cdot d{\bf S}}}} $

Suma ta przedstawia całkę powierzchniową

(4)

$ {\phi =\underset{{S}}{\int }{\mathit{{\bf E}\cdot d{\bf S}}}} $

W praktyce najczęściej oblicza się strumień przez powierzchnię zamkniętą.

Przykład 1: Ładunek punktowy

Obliczmy teraz strumień dla ładunku punktowego $ Q $ w odległości $ r $ od niego. W tym celu rysujemy sferę o promieniu $ r $ wokół ładunku $ Q $ (zob. Rys. 3 ) i liczymy strumień przechodzących przez tę powierzchnię.

Rysunek 3: Strumień pola elektrycznego przez zamkniętą sferyczną powierzchnię

Pole $ {\bf E} $ ma jednakową wartość w każdym punkcie sfery i jest prostopadłe do powierzchni (równoległe do wektora powierzchni $ d{\bf S} $) więc w każdym punkcie $ \alpha = 0 $ i całkowity strumień wynosi

(5)

$ {\phi ={\bf E}\cdot {\bf S}=E(4\mathit{\pi r}^{{2}})=\left(k\frac{Q}{r^{{2}}}\right)(4\mathit{\pi r}^{{2}})=4\pi kQ=\frac{Q}{\varepsilon _{{0}}}} $

Otrzymany strumień nie zależy od $ r $, a zatem strumień jest jednakowy dla wszystkich $ r $. Całkowity strumień pola $ {\bf E} $ wytworzonego przez ładunek $ Q $ jest równy $ Q $/ $ \varepsilon_{0} $.

Pokazaliśmy, że strumień jest niezależny od $ r $. Można również pokazać (dowód pomijamy), że strumień jest taki sam dla każdej zamkniętej powierzchni (o dowolnym kształcie), która otacza ładunek $ Q $. Wybór powierzchni w kształcie sfery, w powyższym przykładzie, był podyktowany symetrią układu i pozwolił najłatwiej wykonać odpowiednie obliczenia. Taką całkowicie zamkniętą powierzchnię nazywamy powierzchnią Gaussa.

Rozpatrzmy zamkniętą powierzchnię obejmującą dwa ładunki $ Q_{1} $ i $ Q_{2} $. Całkowity strumień (liczba linii sił) przechodzący przez powierzchnię otaczającą ładunki $ Q_{1} $ i $ Q_{2} $ jest równy

(6)

$ {\phi _{{c}}=\oint {\mathit{{\bf E}\cdot d{\bf S}}=\oint{({\bf E}_{{1}}+{\bf E}_{{2}})\mathit{\cdot d{\bf S}}=\oint {{\bf E}_{{1}}\mathit{\cdot d{\bf S}}+}}}\oint{{\bf E}_{{1}}\mathit{\cdot d{\bf S}}}} $

gdzie pole $ {\bf E}_1 $ jest wytwarzane przez $ Q_{1} $, a pole $ {\bf E}_2 $ przez $ Q_{2} $. Kółko na znaku całki oznacza, że powierzchnia całkowania jest zamknięta. Korzystając z otrzymanego wcześniej wyniku ( 5 ) mamy

(7)

$ {\phi _{{c}}=\frac{Q_{{1}}}{\varepsilon_{{0}}}+\frac{Q_{{2}}}{\varepsilon_{{0}}}=\frac{Q_{{1}}+Q_{{2}}}{\varepsilon _{{0}}}} $

Całkowity strumień pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię jest więc równy całkowitemu ładunkowi otoczonemu przez tę powierzchnię podzielonemu przez $ \varepsilon_{0} $. Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnej liczby ładunków wewnątrz dowolnej zamkniętej powierzchni. Otrzymujemy więc ogólny związek znany jako prawo Gaussa

Prawo 1: Prawo Gaussa

(8)

$ {\oint {\mathit{{\bf E}\cdot d{\bf S}}}=4\pi \text{kQ}_{{\text{wewn}\text{.}}}=\frac{Q_{{\text{wewn}\text{.}}}}{\varepsilon_{{0}}}} $

Strumień wychodzący z naładowanego ciała jest równy wypadkowemu ładunkowi tego ciała podzielonemu przez $ \varepsilon_{0} $. Jeżeli wypadkowy ładunek ciała jest ujemny to strumień pola elektrycznego, tak jak i linie pola, wpływa do ciała. Natomiast gdy ładunek wypadkowy wewnątrz zamkniętej powierzchni jest równy zeru to całkowity strumień też jest równy zeru; tyle samo linii pola wpływa jak i wypływa przez powierzchnię Gaussa. Podobnie jest w sytuacji gdy ładunki znajdują się na zewnątrz zamkniętej powierzchni. Te sytuacje są pokazane na Rys. 4.

Rysunek 4: Powierzchnie Gaussa wokół ładunków dodatnich i ujemnych

Całkowity strumień przez powierzchnię "1" jest dodatni, strumień przez powierzchnię "2" jest ujemny, a strumień przez powierzchnię "3" jest równy zeru.

Teraz można przejść do zastosowania prawa Gaussa do obliczania natężenia pola $ {\bf E} $ dla różnych naładowanych ciał.

Zastosowania prawa Gaussa możesz znaleźć w modułach:

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Fizyka

Prawo Gaussa

Definicja 1: Strumień pola

Przykład 1: Ładunek punktowy

Prawo 1: Prawo Gaussa